Spectral Volume Method (SVM)

Spectral Volume Method (SVM) 是一种高阶数值计算方法，主要用于求解偏微分方程（PDEs），例如流体力学中的守恒律方程. SVM 是一种基于有限体积法（Finite Volume Method, FVM）的高精度方法，同时结合了谱方法的思想.

核心思想

SVM 将计算域划分为多个控制体积（control volumes），每个控制体积再进一步划分为多个子单元(subcells). 在每个控制体积内，解函数以一组高阶多项式表示，其系数通过光谱逼近的方式进行确定。这种局部高阶近似可以显著提高计算精度.

工作原理

1. 域划分：

• 将计算区域分割为多个不重叠的光谱体积（Spectral Volumes, SVs）
  • 它可以是规则的形状（如正方形或三角形），也可以是不规则形状，取决于计算域的划分
• 每个光谱体积进一步划分为若干个子单元(subcells)
  • 子单元用于采样解的值，以构建光谱逼近的高阶多项式

2. 局部多项式逼近：

• 在每个光谱体积内，用一个高阶多项式来表示解函数. 这种多项式能够捕捉局部解的变化
• 多项式的系数通过拟合子单元上的解值来确定，从而保证局部的高阶逼近
• 构造的多项式 P(x) 是解函数 u(x) 在光谱体积内的高阶逼近

a. 多项式表示

• 假设解函数 u(x) 在光谱体积 Ω 内可以用一个高阶多项式 P(x) 来表示

\[u(x) \approx P(x) = \sum_{i=0}^{M} a_i \phi_i(x),\]

• $\phi_i(x)$是一组基函数（通常选择正交多项式，如 Legendre 多项式或 Chebyshev 多项式）
• $a_i$ 是待确定的多项式系数
• M 是多项式的阶数，与子单元数 N 相关

b. 子单元上的解值采样

在每个子单元 $\Omega_j$，定义某种方式采样解值

• 直接使用子单元中心或其他特定点的解值 $u_j$
• 或者在子单元内计算解的加权平均值 $\bar{u}_j$

\[\bar{u}_j = \frac{1}{|\Omega_j|} \int_{\Omega_j} u(x) \, dx\]

其中 $

\Omega_j

$ 是子单元 $\Omega_j$ 的体积

c. 拟合高阶多项式

利用子单元上的解值，构造多项式 P(x) 的系数 $a_i$

• 通过 插值法：
  • 确保多项式 P(x) 在子单元采样点上与解值 uj 一致，即满足以下方程组：
  \[P(x_j) = u_j, \quad j = 1, 2, \dots, N.\]
  • 根据采样点的数量和多项式阶数，利用线性代数方法（如 Lagrange 插值或 Vandermonde 矩阵）求解 $a_i$
• 通过 最小二乘拟合法：
  • 如果采样点数量超过多项式阶数，可以使用最小二乘方法拟合多项式系数：
  \[\min_{a_i} \sum_{j=1}^{N} \left( u_j - P(x_j) \right)^2\]
• 通过 积分法（正交点拟合）：
  • 使用数值积分方法（如 Gaussian Quadrature）在子单元内计算积分
  \[\int_{\Omega} u(x) \phi_k(x) \, dx = \int_{\Omega} P(x) \phi_k(x) \, dx, \quad k = 0, 1, \dots, M\]

通过这一方式得到 $a_i$ 系数

3. 守恒律的离散化 / 数值通量计算

• 在每个子单元上计算守恒量的通量，并利用数值通量函数（例如 Roe 通量或 Lax-Friedrichs 通量）处理相邻体积间的交界面
• 在光谱体积的边界上计算数值通量，用于与相邻体积进行信息交换
• 光谱体积之间的通量计算确保了整体解的守恒性
• 时间推进可以使用显式或隐式方法，如 Runge-Kutta 方法